【数学/近世代数】备忘

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1.幂等元存在性

问：有限半群$(G,\cdot)$中，必定存在元素$a$，令$a\cdot a = a$。
证：设$|G|=n$，$a,a^2,a^3,\cdots,a^{n+1}\in G$，则必定存在$a^i=a^j,1\leq i < j \leq n+1$。
那么存在$k>0$，令$a^i \cdot a^k = a^j$，则$a^i \cdot a^k = a^i$，连续左乘$a$，则有$a^p\cdot a^k=a^p,p=qk$，递归调用，得到$a^p=a^p\cdot a^p$。

2.一些定理(证明省略)

1. 四阶群无三阶元。
2. 左陪集彼此等阶，左右陪集彼此等阶，也就是说，陪集彼此等阶。
3. 六阶群必有三阶元。（由$Lagrange$定理推导得到）
4. 阶小于等于5的群为阿贝尔群。